立體幾何 — 體積與表面積練習

詳解：圓柱體的表面面積包括兩個圓形底面（面積各為 πr²）和一個曲面（展開為長方形，面積為 2πrh）。因此總表面面積為 2πrh + 2πr²。選項 A 缺少底面，選項 B 重複加了底面，選項 D 是體積公式。

詳解：圓錐體體積公式為 (1/3)πr²h。代入 r=3, h=4，得 (1/3)π(9)(4)=12π。選項 B 錯誤地用了圓柱體積公式，選項 C 是 (1/3)πr²h 但計算錯誤，選項 D 是 πr²h 乘以 4。

詳解：球體體積公式 V=(4/3)πr³，設 36π=(4/3)πr³，解得 r³=27，r=3。表面面積公式 A=4πr²=4π(9)=36π。選項 B 是半徑的平方乘以 π，選項 C 是 2πr²，選項 D 是 6πr²。

詳解：體積增加一倍，即新體積為 2a³，則新邊長為 (2a³)^(1/3)=a·2^(1/3)。表面面積與邊長平方成正比，所以新表面面積為原來的 (2^(1/3))²=2^(2/3) 倍。選項 A 是體積倍數，選項 B 是邊長平方倍數，選項 C 是邊長倍數。

詳解：水的體積等於底面積乘以水的高度。底面積為 20×15=300 cm²，水高 8 cm，所以體積為 300×8=2400 cm³。選項 B 是整個容器體積，選項 C 是底面積乘以 8 但計算錯誤，選項 D 是底面積乘以 4。

詳解：圓柱體體積 V=πr²h。若半徑增加一倍（2r），而 h 不變，新體積為 π(2r)²h=4πr²h=4V。選項 A 誤以為體積與半徑成正比，選項 C 誤以為與半徑立方成正比，選項 D 是錯誤的。

詳解：球體體積為 (4/3)π(3)³=36π cm³。圓柱體體積為 π(2)²h=4πh。由於體積不變，4πh=36π，解得 h=9。選項 B 誤用半徑相減，選項 C 是體積除以 πr² 但計算錯誤，選項 D 是半徑之和。

詳解：圓錐體的曲面面積公式為 πrl，其中 r 是底面半徑，l 是斜高。選項 A 是底面圓面積，選項 C 是圓柱曲面面積公式，選項 D 是總表面面積（包括底面）。

詳解：正四面體體積公式為 (a³)/(6√2)。代入 a=6，體積 = (216)/(6√2)=36/√2=18√2。選項 B 是表面面積，選項 C 是 (a³)/(3√2) 之類的錯誤，選項 D 是錯誤倍數。

詳解：圓錐體體積是等底等高圓柱體體積的三分之一，所以是 V/3。選項 B 誤以為是二分之一，選項 C 誤以為是三分之二，選項 D 誤以為是三倍。