立體幾何 — 體積與表面積

詳解：原體積 V1 = πr²h。新半徑 = 1.5r，新高 = 0.5h，所以新體積 V2 = π(1.5r)²(0.5h) = π(2.25r²)(0.5h) = 1.125πr²h。因此 V2:V1 = 1.125:1 = 9:8。選項 A 忽略了變化，C 是倒數，D 是錯誤計算（可能誤將半徑增加 50% 視為增加 1.5 倍但高度減少 50% 視為 0.5，然後錯誤約分）。

詳解：正四面體的體積公式是 V = (√2/12) a³。這是標準公式，可以通過將四面體視為三稜錐並使用底面積（正三角形）和高（√(2/3)a）推導。選項 B 是正三角形面積公式，C 是棱錐一般體積但缺少係數，D 是常見錯誤（可能混淆了體積與其他公式）。

詳解：球體體積 V = (4/3)πr³ = 288π，所以 r³ = 216，r = 6 cm。表面積 A = 4πr² = 4π(36) = 144π cm²。選項 A 是半徑的平方乘以π（誤用圓面積），C 是體積數值，D 是半徑平方乘以4再乘以2（可能誤以為表面積是體積的兩倍）。

詳解：圓錐總表面積 = 底面積（πr²）+ 側面積（πrl），其中 l 是斜高，所以正確公式是 πr² + πrl。選項 B 將斜高誤用為母線（但斜高就是母線，這裡錯在把√(r²+l²)當成斜高，這是高的計算），C 是側面積加底面圓周長相關，D 是錯誤的合併。

詳解：表面積與線性尺寸的平方成正比。當邊長加倍（即線性尺寸變為原來的 2 倍），表面積變為原來的 2² = 4 倍，即增加 4 倍（從 S 到 4S，增加了 3S，但通常理解為變為 4 倍）。選項 A 是線性比例，C 是體積比例（2³=8）的一半，D 是體積倍數（8倍）。注意題目問「增加多少倍」可能理解為變為多少倍，此處答案為 4 倍。

詳解：圓錐體積 = (1/3) × 圓柱體積（當底和高相同時）。所以圓錐體積 = 300 / 3 = 100 cm³。選項 B 是圓柱體積的一半，C 是錯誤認為相等，D 是圓柱體積的三倍（可能誤用比例）。

詳解：正方體體積為 64，邊長 a = 4 cm。空間對角線長度 = a√3 = 4√3 cm。選項 A 是邊長，B 是面對角線（a√2），D 是邊長兩倍（可能誤算為直徑）。

詳解：材料體積 = 外球體積 - 內球體積 = (4/3)π(6³) - (4/3)π(4³) = (4/3)π(6³ - 4³)。選項 B 錯誤地對半徑差求立方，C 是加而非減，D 是表面積差（錯用表面積公式）。

詳解：正三角形面積 = (√3/4) × 6² = 9√3 cm²。體積 = 底面積 × 高 = 9√3 × 10 = 90√3 cm³。選項 B 是沒有乘以√3的結果（可能誤用三角形面積計算），C 是底面積乘以5（高的一半），D 是底面積乘以20（高兩倍）。

詳解：圓柱體積 = πr²h，球體積 = (4/3)πR³。令兩者相等：πr²h = (4/3)πR³ ⇒ R³ = (3r²h)/4 ⇒ R = (3r²h/4)^(1/3)。選項 B 沒有開立方，C 是倒數，D 是少了 r 的平方（可能誤消去一個 r）。