三角方程 - 難度練習

詳解：由 sin(2x) = sin(x) 得 2 sin(x) cos(x) = sin(x) → sin(x)(2cos(x)-1)=0。sin(x)=0 給出 x=0, π；2cos(x)-1=0 給出 cos(x)=1/2，x=π/3, 5π/3。共4個解。常見錯誤：忘記考慮 sin(x)=0 或忽略 5π/3。

詳解：設 u=cosθ，則 2u²-3u+1=0 → (2u-1)(u-1)=0 → cosθ=1 或 1/2。cosθ=1 得 θ=0°；cosθ=1/2 得 θ=60°, 300°。總和=0+60+300=360°？注意：0° 在 [0°,360°)，所以 0°+60°+300°=360°。但答案選項：C.540° 不對？重新計算：cosθ=1 → θ=0°；cosθ=1/2 → θ=60°, 300°；和=360°。選項A.180° B.360° C.540° D.720°，正確為B。

詳解：tan(2x)=0 時，2x = nπ，n 為整數，所以 x = nπ/2。在 [0,2π) 內，x = 0, π/2, π, 3π/2，共4個解。注意：tan 的週期為 π，但 2x 的週期為 π/2，故在 0 到 2π 中有4個解。常見錯誤：忘記考慮 x=0 或 x=π。

詳解：sinθ = cos(θ-30°) → sinθ = sin(90° - (θ-30°)) = sin(120°-θ) 或 sinθ = sin(180° - (θ-30°))? 更簡單：sinθ = cos(θ-30°) → cos(90°-θ) = cos(θ-30°) → 90°-θ = θ-30° 或 90°-θ = 360° - (θ-30°)? 解 90°-θ = θ-30° → 120°=2θ → θ=60°。另一組解給出 90°-θ = -(θ-30°)+360°? 不必，只需一個可能值，60° 在選項中。

詳解：sin²x - 2sinx = sinx(sinx - 2)=0 → sinx=0 或 sinx=2（無解）。sinx=0 在 [0,2π) 內有 x=0, π，共2個解？但注意：x=0 和 π，只有2個。但選項有3，可能我漏了？檢查：sinx=0 在 [0,2π) 有 0, π，共2個。所以答案應該是B.2。但題目設計為3？改題：sin²x - 2sinx = 0 即 sinx(sinx-2)=0，sinx=0 得 x=0, π；sinx=2 無解，所以2個解。選項B正確。

詳解：tanθ = √3 → θ = 60° 或 240°。θ=60°時，sin60°=√3/2，cos60°=1/2，和=(√3+1)/2。θ=240°時，sin240°=-√3/2，cos240°=-1/2，和=-(√3+1)/2。可能值為 (√3+1)/2，選項A和C相同，都為 (1+√3)/2，正確。

詳解：cos(2x) = sin(x) → 1-2sin²x = sinx → 2sin²x + sinx -1=0 → (2sinx-1)(sinx+1)=0 → sinx=1/2 或 sinx=-1。sinx=1/2 得 x=π/6, 5π/6；sinx=-1 得 x=3π/2。共3個解？但注意：3π/2 在區間內，所以3個。選項B.3。

詳解：3tan²θ -1=0 → tan²θ=1/3 → tanθ=±1/√3。對於 tanθ=1/√3，θ=30°, 210°；對於 tanθ=-1/√3，θ=150°, 330°。共4個解。注意：tan 的週期為180°，所以每個方程有2個解在0°到360°。

詳解：直接相加：sin(α+β)+sin(α-β) = (sinα cosβ+cosα sinβ)+(sinα cosβ-cosα sinβ) = 2 sinα cosβ。常見錯誤：誤記公式或混淆。

詳解：sinx = cosx → tanx=1 → x = π/4, 5π/4。和 = π/4 + 5π/4 = 6π/4 = 3π/2。選項C.3π/2。注意：5π/4 在區間內，不要遺漏。